Question

已知函数y＝，

(1)求函数的定义域、值域；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)求函数的单调区间．

Answer 1

答案：
解析：

解：令t＝15－2x－x2，则y＝． 　　(1)由15－2x－x2≥0－5≤x≤3，得函数的定义域为[－5，3]； 　　而t＝15－2x－x2＝16－(x＋1)2∈[0，16]，所以函数的值域为[0，2]． 　　(2)因为函数的定义域为[－5，3]不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数． 　　(3)因为函数的定义域为[－5，3]，对称轴为x＝－1，所以当x∈[－5，－1]时，t随x的增大而增大；当x∈[－1，3]时，t随x的增大而减小．又因为y＝在t∈[0，16]时，y随t的增大而增大，所以函数y＝的单调增区间为[－5，－1]，单调减区间为[－1，3]．

提示：

这是个幂函数的复合函数形式，本例中的函数的基本形式是开偶次方根，故定义域只要根式下大于或等于0即可，值域要先求根式下面二次函数的值域，然后再开方；对于复合函数奇偶性的判断，要先求定义域，定义域首先要关于原点对称，然后根据对定义域内的任意自变量x是否有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)来进行判断，满足前者为偶函数，满足后者为奇函数；对于复合函数单调区间的求解，则要在定义域内根据内函数和外函数的单调性来综合判断．