Question

6．甲、乙两人的各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为$\frac{1}{2}$，乙每次击中目标的概率为$\frac{2}{3}$．假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．（结果须用分数作答）
（1）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ；
（2）求乙至少击中目标2次的概率；
（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

Answer 1

分析 （1）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．
（2）射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．
（3）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．

解答 解：（1）由题意，ξ=0，1，2，3．
$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}；，P（ξ=1）=C_3^1{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{3}{8}$；
$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{3}{8}；，P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$；
ξ的概率分布如下表：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

Eξ=0•$\frac{1}{8}$+1•$\frac{3}{8}$+2•$\frac{3}{8}$+3•$\frac{1}{8}$=1.5   （或Eξ=3•$\frac{1}{2}=1.5$）
（2）乙至少击中目标2次的概率为$C_3^2（\frac{2}{3}{）^2}（\frac{1}{3}）+C_3^3{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{20}{27}$．
（3）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B₁，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B₂，则A=B₁+B₂，B₁、B₂为互斥事件．
P（A）=P（B₁）+P（B₂）=$\frac{3}{8}•\frac{1}{27}+\frac{1}{8}•\frac{2}{9}=\frac{1}{24}$．
所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为$\frac{1}{24}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个中档题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律．