Question

设函数y=x+

a

x+1

，（x≥0）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值．
（2）当 0＜a＜1 时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式即可得出；
（2）利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）当a=2时，∵x≥0，∴f(x)=x+1+

2

x+1

-1≥2

(x+1)• 2 x+1

-1=2

2

-1，当且仅当x=

2

-1时取等号．
∴函数f（x）的最小值是2

2

-1．
（2）当 0＜a＜1 时，f′(x)=1-

a

(x+1)2

=

x2+2x+1-a

(x+1)2

＞0，
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴当且仅当x=0时f（x）取得最小值f（0）=a．
故函数f（x）的最小值为a．

点评：熟练掌握基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．