Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=

k

3x+5

(0≤x≤10)，若不建隔热层（即x=0时），每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的表达式；
（3）利用“函数y=x+

a

x

（其中a为大于0的常数），在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数”这一性质，求隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意中的一组特值求解．
（2）根据题意，隔热层的建造费用f（x）是20年的能源消耗费用之和与x厘米厚的隔热层的建造成本的和，依次求出函数的解析式与定义域．
（3）将函数解析式化简，再利用“函数y=x+

a

x

（其中a为大于0的常数），在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数”这一性质，求解．

解答：解：（1）根据题意当x=0时，C（x）=8，代入得

K

5

=8?K=40；
（2）f（x）=6x+20×

40

3x+5

=6x+

800

3x+5

，0≤x≤10．
（3）∵f（x）=2（3x+5）+

800

3x+5

-10=2[（3x+5）+

400

3x+5

]-10≥2×2

400

-10=70．
当且仅当3x+5=

400

=20时，即x=5时，取“=”．
答：隔热层修建5厘米厚时，总费用最小，最小值为70（万元）．

点评：本题主要考查利用构造函数类型解决实际问题．