Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP＝m．

(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3；

(2)在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)如图，连接AC，设AC∩BD＝O，AP与面BDD1B1交于点G，连结OG，因为PC∥面BDD1B1，而BDD1B1∩面APC＝OG，故OG∥PC，所以OG＝PC＝．又AO⊥DB，AO⊥BB1，所以AO⊥面BDD1B1，故∠AGO即为AP与面BDD1B1所成的角． 　　在Rt△AOG中，tan∠AGO＝， 　　即m＝． 　　故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3． 　　(2)依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP，可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点， 　　因为D1O1⊥A1C1，D1O1⊥AA1，所以D1O1⊥面ACC1A1． 　　又AP面ACC1A1，故D1O1⊥AP． 　　从而D1O1在平面AD1P上的射影与AP垂直． 　　 　　(2)若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则Q(x，1－x，1)，＝(x，1－x，0)． 　　依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP·＝0－x＋(1－x)＝0x＝． 　　即Q为A1C1的中点时，满足题设要求． 　　点评：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力．考查应用向量知识解决数学问题的能力．