题目内容
如图，一棱长为2的正四面体O-ABC的顶点O在平面α内，底面ABC平行于平面α，平面OBC与平面α的交线为l．
（1）当平面OBC绕l顺时针旋转与平面α第一次重合时，求平面OBC转过角的正弦
值．
（2）在上述旋转过程中，△OBC在平面α上的投影为等腰△OB1C1（如图1），B1C1的中点为O1．当AO⊥平面α时，问在线段OA上是否存在一点P，使O1P⊥OBC？请说明理由．
（1）当平面OBC绕l顺时针旋转与平面α第一次重合时，求平面OBC转过角的正弦
值．
（2）在上述旋转过程中，△OBC在平面α上的投影为等腰△OB1C1（如图1），B1C1的中点为O1．当AO⊥平面α时，问在线段OA上是否存在一点P，使O1P⊥OBC？请说明理由．
分析：（1）要求平面OBC转过角，即求平面OBC与平面α所成的角度，可转化为求平面ABC与平面COB所成的角；在四面体中，取BC中点为E，连接AE，EO，则BC⊥AE，BC⊥EO，∠AEO即为所求的转动角；根据AE=EO=
，AO=2，即可求出∠AEO
（2）法一：设A在平面OBC上射影为G，若O1P⊥平面OBC，则O1P∥AG，设O1P交OE于H，则由OH：OO1=OO1：OE，可求得OH=OG
故H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
法二：以O1为原点，分别以O1C1、O1O、O1E所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P(0，
，z)
则由
⊥
P ，
⊥
可求z，H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
| 3 |
（2）法一：设A在平面OBC上射影为G，若O1P⊥平面OBC，则O1P∥AG，设O1P交OE于H，则由OH：OO1=OO1：OE，可求得OH=OG
故H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
法二：以O1为原点，分别以O1C1、O1O、O1E所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P(0，
| 2 |
则由
| BC |
| O1 |
| OC |
| O1P |
解答：解：（1）∵平面ABC∥平面α
平面ABC∩平面COB=BC
取BC中点为E，连接AE，EO，则BC⊥AE，BC⊥EO．
故∠AEO即为所求的转动角
在正四面体中，AE=EO=
，AO=2，
所以：COS∠AEO=
=
．
∴sin∠EOF=
．
故所求转过角的正弦值为
（2）解法一：在Rt△OBB1中，OB=2BB1，
故BB1=O1E=1，AE=OE=
，OO1=
．设A在平面OBC上射影为G，
若O1P⊥平面OBC，则O1P∥AG，
设O1P交OE于H，OH：OO1=OO1：OE，
得OH=
，又OG=
，
故H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
解法二：以O1为原点，分别以O1C1、O1O、O1E所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则O(0，
，0)，C（1，0，1），B（-1，0，1），A(0，
，2)，
设P(0，
，z)
则
=(1，-
，1)，
=(0，
，z)，
=(2，0，0)
⊥
P ，
⊥
得z=2．…（13分）
故H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
平面ABC∩平面COB=BC
取BC中点为E，连接AE，EO，则BC⊥AE，BC⊥EO．
故∠AEO即为所求的转动角
在正四面体中，AE=EO=
| 3 |
所以：COS∠AEO=
| AE2+EO2-AO2 |
| 2AE•EO |
| 1 |
| 3 |
∴sin∠EOF=
2
| ||
| 3 |
故所求转过角的正弦值为
2
| ||
| 3 |
（2）解法一：在Rt△OBB1中，OB=2BB1，
故BB1=O1E=1，AE=OE=
| 3 |
| 2 |
若O1P⊥平面OBC，则O1P∥AG，
设O1P交OE于H，OH：OO1=OO1：OE，
得OH=
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
故H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
解法二：以O1为原点，分别以O1C1、O1O、O1E所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则O(0，
| 2 |
| 2 |
设P(0，
| 2 |
则
| OC |
| 2 |
| O1P |
| 2 |
| BC |
| BC |
| O1 |
| OC |
| O1P |
故H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
点评：本题主要考查了二面角得平面角得求解，直线与平面垂直的性质定理得应用，要注意向量法在解题中应用．
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