Question

命题
①?x∈R，使sinx+cosx=2
②对?x∈R，sinx+

1

sinx

≥2
③对?x∈(0，

π

2

)，tanx+

1

tanx

≥2
④?x∈R，使sinx+cosx=

2

，
其中真命题为（　　）

A．③

B．③④

C．②③④

D．①②③④

Answer 1

分析：利用辅助角公式，将sinx+cosx化成正弦型函数的形式，求出其值域后，可以判断①，④的真假；
使用基本不等式求出sinx+

1

sinx

的值域，可以判断②的真假；由x∈(0，

π

2

)，tanx＞0，

1

tanx

＞0，使用基本不等式可以判断③的真假；进而得到答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]；故①?x∈R，使sinx+cosx=2，错误；
④?x∈R，使sinx+cosx=

2

，正确；
∵对?x∈R，sinx+

1

sinx

≤-2或sinx+

1

sinx

≥2，故②对?x∈R，sinx+

1

sinx

≥2，错误；
③对x∈(0，

π

2

)，tanx＞0，

1

tanx

＞0，由基本不等式可得③?x∈(0，

π

2

)，tanx+

1

tanx

≥2，正确；
故答案为：B

点评：本题考查的知识点是全称命题和特称命题，其中根据基本不等式和正弦型函数的性质，是解答本题的关键．