Question

（本小题满分13分）某市“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为.现已知相距的，两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数,，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.
(1) 试将表示为的函数；
(2) 若时,在处取得最小值，试求的值.

Answer 1

（1）（2）

试题分析：（1）设点C受A污染源污染指数为，
点C受B污染源污染指数为，
其中k为比例系数，且k＞0,
从而点C处污染指数.                         ……5分
（2） 因为，所以，，=，
令=0，得，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.
∴当时，函数取得最小值，又此时，解得，
经验证符合题意.
所以，污染源B的污染强度的值为.                            ……13分
点评：从实际问题中抽象数学模型时，一定不要忘记函数的实际定义域，利用导数研究函数的单调性时，要把单调性说清楚，必要时可以画表格辅助说明.