Question

【题目】已知函数，．

（1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；

（3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可；

（2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可；

（3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，记m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可；

法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1） 等价于 h（t）＝（t）lntt，t＞1，记m（x）＝（x）lnxx，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可．

（1）当时， ，．

设直线与曲线相切于点，

则，即，

解得，即切点为，

因为切点在上，所以，解得．

（2）不等式可化为．

记， 则对任意恒成立．

考察函数， ，．

当时， ，在上单调递减，又，

所以，不合题意；

当时， ，；， ，

所以在上单调递减，在上单调递增，

若，即时，在上单调递增，

所以时， ，符合题意；

若，即时，在上单调递减，

所以当时， ，不符合题意；

综上所述，实数的取值范围为．

（3）方法一：，，．

因为有两个极值点， ，

所以，即的两实数根为， ， ，

所以， ， ，所以， ，

从而

．

记，．

则 (当且仅当时取等号)，

所以在上单调递增，又，

不等式可化为，所以．

因为，且在上递增，所以，

即的取值范围为．

方法二：， ，．

因为有两个极值点， ，

所以，即的两实数根为， ， ，

所以， ， ，所以，．

设，则， ，所以， ， ，

从而等价于，．

记，．

则 (当且仅当时取等号)，

所以在上单调递增．

又， ，所以．

因为，且在上递增，所以，

即的取值范围为．