Question

【题目】设F为双曲线 ﹣ =1（a＞b＞0）的右焦点，过点F的直线分别交两条渐近线于A，B两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ）

A.
B.2
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：不妨设OA的倾斜角为锐角，

∵a＞b＞0，即0＜ ＜1，

∴渐近线l1的倾斜角为（0， ），

∴ = =e2﹣1＜1，

∴1＜e2＜2，

∵2|AB|=|OA|+|OB|，OA⊥AB，

∴|AB|2=|OB|2﹣|OA|2

=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=2（|OB|﹣|OA|）|AB|，

∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），

∴|OB|﹣|OA|= |AB|，

又|OA|+|OB|=2|AB|，

∴|OA|= |AB|，

∴在直角△OAB中，tan∠AOB= = ，

由对称性可知：OA的斜率为k=tan（ ∠AOB），

∴ = ，∴2k2+3k﹣2=0，

∴k= （k=﹣2舍去）；

∴ = ，∴ = =e2﹣1= ，

∴e2= ，

∴e= ．

所以答案是：C．