Question

3．方程x|x|-y|y|=-1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：
①f（x）在R上单调递减；
②函数F（x）=f（x）-x-$\sqrt{2}$存在3个零点；
③函数y=f（x）的值域是R；
④函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程x|x|-y|y|=1确定的曲线．
其中所有正确的命题序号是②③④．

Answer 1

分析 分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给的命题的真假性．

解答 解：（1）x≥0，y≥0，x²-y²=-1即y²-x²=1，
此为a=b=1，实轴为y轴的双曲线在第1象限的部分，增函数；
（2）x≥0，y＜0，x²+y²=-1不存在；
（3）x＜0，y≥0，-x²-y²=-1，x²+y²=1，
此为圆心在原点，半径为1的圆在第2象限的部分，增函数；
（4）x＜0，y＜0，-x²+y²=-1，x²-y²=1，
此为a=b=1，实轴为x轴的双曲线在第3象限的部分，增函数；
根据上述情况作出相应的图象，如图所示，

故：①f（x）在R上单调递减，错误；
②函数f（x）的图象与函数y=x+$\sqrt{2}$在第二象限相切，
在第一，三象限延长后各有一个交点，
即函数f（x）的图象与函数y=x+$\sqrt{2}$共有三个交点，
即函数F（x）=f（x）-x-$\sqrt{2}$存在3个零点，正确；
③函数y=f（x）的值域是R，正确；
④函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程-x|-x|+y|-y|=-1，即方程x|x|-y|y|=1确定的曲线，正确．
即正确的命题序号是：②③④，
故答案为：②③④

点评 本题主要考查了含有绝对值的函数的图象，以及有关圆锥曲线的问题，利用了数形结合的思想，属于中档题