Question

【题目】已知：以点 为圆心的圆与轴交于点、，与轴交于点、，其中为原点．

（）求证： 的面积为定值．

（）设直线与圆交于点、，若，求：圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）因为圆C过原点，利用两点间的距离公式表示出出O到C的距离即为圆的半径，然后根据点C的坐标，写出圆C的标准方程，令x=0，解出相应y的值，令y=0解出相应x的值，进而表示出点A和点B的坐标，利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积，约分后得到面积为定值，得证；

（2）根据圆上的点到圆心的距离相等得到|CM|=|CN|，又因为|OM|=|ON|，得到OC垂直平分线段MN，由已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线OC的斜率，然后利用C的坐标表示出斜率，两者相等得到关于t的方程，求出方程的解得到t的值，然后把求出的t的值代入点C的坐标中确定出圆心的坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式判断圆心到已知直线的距离小于半径即已知直线与圆相交，把不符合题意的t舍去，得到满足题意的t的值，进而得到圆C的方程；

试题解析：（1）∵圆C过原点O，∴OC2=t2+，

则圆C的方程为（x-t）2+（y-）2= t2+，令x=0，，得y1=0，；

令y=0得x1=0，x2=2t，

即A（2t，0），B（0，），

=4．

即△OAB的面积为定值；

（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分线段MN．

∵KMN=-2，∴KOC=

，解得t=2或t=-2．

当t=2时，圆心C的坐标为（2，1）半径OC=，

此时圆心到直线y=-2x+4的距离d=，

即圆C与直线y=-2x+4相交于两点．

当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1）半径OC=

此时圆心到直线y=-2x+4的距离d=，即圆C与直线y=-2x+4不相交，<BR>∴t=-2不合题意，舍去．

∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．