Question

若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．

（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；

（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值．

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）等比数列的判定方法：（1）定义法：若是常数，则是等比数列；中项公式法：若数列中，，则是等比数列；通项公式法：若数列通项公式可写成；（2）熟记等比数列前项和公式，，注意利用性质把数列转化，利用等比数列前项和；（3）利用条件列式子，等比数列的性质及前项和公式对函数与方程、等价转化、分类讨论等思想的运用，是高考的一种重要的考向.

试题解析：【解析】
（1）由题意得：，即 ，则是“平方递推数列”.

对两边取对数得 ，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 4分

（2）由（1）知

8分

（3）

又，即

又，所以. 14分

考点：（1）证明某个数列为等比数列；（2）求前项和；（3）使成立的最小值.