Question

（2012•惠州模拟）设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N₊，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为正常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）数列{b_n}满足b₁=2a₁，bn=

bn-1

1+bn-1

，（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列{

2n+1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知求出S_n+1=（m+1）-ma_n+1，与S_n=（m+1）-ma_n相减整理后可得

an+1

an

=

m

m+1

为定值，进而根据等比数列定义可得结论；
（2）由已知求出b₁，再由bn=

bn-1

1+bn-1

分离常数后构造新数列{

1

bn

}，可得数列{

1

bn

}是一个以

1

2

为首项，以1为公式差的等差数列，进而求出数列{b_n}的通项公式；
（3）根据（2）的结论，利用错位相减法，可得数列{

2n+1

bn

}的前n项和T_n．

解答：证明：（1）∵S_n=（m+1）-ma_n…①
∴S_n+1=（m+1）-ma_n+1，…②
②-①得
a_n+1=-ma_n+1+ma_n，即（m+1）a_n+1=ma_n，
即

an+1

an

=

m

m+1

∴数列{a_n}是等比数列；
解：（2）∵n≥2，n∈N^*时，bn=

bn-1

1+bn-1

，
∴b_n•b_n-1=b_n-1•b_n
∴

1

bn

-

1

bn-1

=1
又∵n=1时，S₁=a₁=（m+1）-ma₁，
∴a₁=1，b₁=2a₁=2，

1

b1

=

1

2

∴数列{

1

bn

}是一个以

1

2

为首项，以1为公式差的等差数列
∴

1

bn

=n-

1

2

∴b_n=

2

2n-1

（3）∵

2n+1

bn

=（2n-1）2ⁿ
∴T_n=1•2¹+3•2²+5•2³…+（2n-1）2ⁿ…①
2T_n=1•2²+3•2³…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹…②
②-①得：
T_n=-2-2（2²+2³…+2ⁿ）+（2n-1）2ⁿ⁺¹
=6+（2n-3）2ⁿ⁺¹

点评：本题是数列问题比较经典的考题，是高考试卷考查数列的常见题型，首先要根据定义法，迭代法、构造数列法等求出数列的通项公式，再利用裂项法，错位相减法等求数列的前n项和．