Question

在数列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，其中n∈N⁺，
（Ⅰ）求证：数列{b_n} 是等差数列，并求数列{a_n} 的通项公式a_n；
（Ⅱ）设c_n=

2

n+1

a_n，数列{C_nC_n+1} 的前n项和为T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜

2

m

对于n∈N⁺恒成立，若存在，求出m的最大值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证数列{b_n}是等差数列，只需证明b_n+1-b_n=2；
（2）由a_n=

n+1

2n

，可得c_n=

2

n+1

a_n=

2

n+1

•

n+1

2n

=

1

n

，从而利用裂项法求前n项和为T_n，进而利用最值思想解决恒成立问题．

解答：（1）证明：∵a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，
∴b_n+1-b_n=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2（n∈N^*）
∴数列{b_n}是等差数列，
∵a₁=1，∴b₁=

2

2a1-1

=2，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
由b_n=

2

2an-1

，得2a_n-1=

2

bn

=

1

n

，（n∈N^*）
∴a_n=

n+1

2n

．
（2）∵c_n=

2

n+1

a_n=

2

n+1

•

n+1

2n

=

1

n

，
∴C_nC_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T=c₁c₂+c₂c₃+…+c_nc_n+1
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1，
∵T_n=1-

1

n+1

＜

2

m

对于n∈N⁺恒成立，
∴

2

m

≥1，∴m≤2，
所以m的最大值为2．

点评：本题主要考查等差数列的定义及通项公式的求解，考查裂项法求和及恒成立问题的处理 方法，综合性强，难度大．