Question

已知函数f(x)＝lnx－mx（mR）．
（1）若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；
（3）若函数f(x)有两个不同的零点x₁，x₂，求证：x₁x₂＞e²．

Answer 1

（1）;（2）①当时，；②当时，
③当时，;（3）详见解析．

试题分析：（1）根据题意首先由点在曲线上，运用待定系数的方法求出，再由切线与导数的关系即可求出切线方程为;（2）对函数求导可得：，分析m对导数的影响，可见要进行分类讨论：①当时，，所以函数在上单调递增，利用单调性可求出最大值;②当，即时，，所以函数在上单调递增，利用单调性可求出最大值;③当，即时，导数有下有负，列表可求出函数的最大值;④当，即时，，所以函数在上单调递减，利用单调性可求出最大值;（3）显然两零点均为正数，故不妨设，由零点的定义可得：，即，观察此两式的结构特征可相加也可相减化简得：，现在我们要证明，即证明，也就是．又因为，所以即证明，即．由它的结构可令＝t，则，于是．构造一新函数，将问题转化为求此函数的最小值大于零，即可得证．
试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得．
因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为．             3分
（2）因为．
①当时，，所以函数在上单调递增，则．
②当，即时，，所以函数在上单调递增，则                              5分
③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则．                                      7分
④当，即时，，所以函数在上单调递减，则               9分
综上，①当时，；
②当时，
③当时，．                        10分
（3）不妨设．因为，所以，
可得．
要证明，即证明，也就是．
因为，所以即证明，即．               12分
令＝t，则，于是．
令，则．
故函数在上是增函数，所以，即成立．
所以原不等式成立．                                              16分