Question

【题目】已知函数，其中.

(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；

(2)若函数为上的单调函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)，；（2）.

【解析】

（1）由得，对其求导，得到，解对应不等式，求出单调区间，进而可求出最值；

（2）先由得到函数不可能在上单调递增，由题意，得到在上单调递减，推出恒成立；令，用导数的方研究其单调性，进而可求出结果.

(1)当时，，所以.

由解得，由解得.

故函数在区间上单减，在区间上单增.

,

，；

(2) 因为，所以函数不可能在上单调递增.

所以，若函数为上单调函数，则必是单调递减函数，即恒成立.

由可得，

故恒成立的必要条件为.

令，则.

当时，由，可得，

由可得，

在.上单调递增，在上单调递减.

故

令，下证:当时，.

即证，令，其中，则，

则原式等价于证明:当时，.

由(1)的结论知，显然成立.

综上，当时，函数为上的单调函数，且单调递减.