题目内容
已知数列{xn}满足x1=
，xn+1=
，n∈N*；（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：
．
【答案】分析：（1）对于数列{xn}的单调性的证明，我们可以根据数列的前若干项，归纳推理出数列的单调性，然后再利用数学归纳法进行证明．
（2）我们可以将待证的问题进行转化，变形成
的形式，然后结合已知条件进行证明．
解答：证明：（1）由x1=
，xn+1=
，
∴
，
，…
由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立
（2）假设当n=k时命题成立，即x2k＞x2k+2
易知x2k＞0，那么
=
即x2（k+1）＞x2（k+1）+2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，
，结论成立
当n≥2时，易知0＜xn-1＜1，∴
∴
∴
=
点评：本题（1）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．
（2）我们可以将待证的问题进行转化，变形成
的形式，然后结合已知条件进行证明．解答：证明：（1）由x1=
，xn+1=
，∴
，
，…由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立
（2）假设当n=k时命题成立，即x2k＞x2k+2
易知x2k＞0，那么
=
即x2（k+1）＞x2（k+1）+2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，
，结论成立当n≥2时，易知0＜xn-1＜1，∴
∴
∴
=
点评：本题（1）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．
练习册系列答案
相关题目