题目内容

（2010•上海）在平面上，给定非零向量
b
，对任意向量
a
，定义
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
．
（1）若
a
=（2，3），
b
=（-1，3），求
a′
；
（2）若
b
=（2，1），证明：若位置向量
a
的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量
a′
的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量
b
，当位置向量
a
的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量
a′
终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量
b
满足什么关系？
分析：（1）根据题意，算出
a
•
b
=7，
|b|
2=10，代入
a′
的表达式并化简整理，即可得到
a′
=（
17
5
，-
6
5
）；
（2）设
a
=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上，由题中
a′
的表达式解出
a′
=（x，y）满足的关系式，从而得到点
（
-3x-4y
5
，
-4x+3y
5
）在直线Ax+By+C=0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，说明向量
a′
的终点也在一条直线上；
（3））设
a
=（x，y），单位向量
b
=（cosθ，sinθ），解出
a′
关于x、y和θ的坐标形式，结合
a
的终点在抛物线x2=y上且
a′
终点在抛物线y2=x上，建立关于x、y和θ的方程，化简整理得到
b
=±（
2
2
，
2
2
）．再由曲线C和C′关于直线l：y=x对称，算出l的方向向量
d
满足
d
•
b
=0，从而得到直线l与向量
b
垂直．
解答：解：（1）∵
a
=（2，3），
b
=（-1，3），
∴
a
•
b
=7，
|b|
2=10，可得
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
2×7
10
（-1，3）=（-
7
5
，
21
5
）
因此
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=（2，3）-（-
7
5
，
21
5
）=（
17
5
，-
6
5
）；
（2）设
a
=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上
算出
a
•
b
=2x'+y'，
|b|
2=5，
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
2(2x′+y′)
5
（2，1）=（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
），
∴
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=（x'，y'）-（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
）=（
-3x′-4y′
5
，
-4x′+3y′
5
）
因此，若
a′
=（x，y），满足
x=
-3x′-4y′
5
y=
-4x′+3y′
5
，得到
x′=
-3x-4y
5
y′=
-4x+3y
5

∵点（
-3x-4y
5
，
-4x+3y
5
）在直线Ax+By+C=0上
∴A×
-3x-4y
5
+B×
-4x+3y
5
+C=0，化简得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程
即向量
a′
的终点也在一条直线上；
（3）∵
b
是单位向量，
∴设
a
=（x，y），
b
=（cosθ，sinθ），可得
a
•
b
=xcosθ+ysinθ，
所以
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
a
-2（xcosθ+ysinθ）
b
=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵
a
的终点在抛物线x2=y上，且
a′
终点在抛物线y2=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）2，
化简整理，通过比较系数可得cosθ=
2
2
，sinθ=-
2
2
或cosθ=-
2
2
，sinθ=
2
2

∴
b
=±（
2
2
，
2
2
），
∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，
∴l的方向向量
d
=（1，1）．
可得
d
•
b
=0，即
d
⊥
b
，因此直线l与向量
b
垂直．
点评：本题给出向量的关系式，求证当向量
a
终点在一条直线上时，向量
a′
的终点也在一条直线上等问题．着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．
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60
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4
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1
12
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1
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AH
•(
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)=
AH
•
AB
；
②
AH
•
AC
=
AH
2；
③
AC
•
AH
|
AH
|
=c•sinB；
④
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•(
AC
-
AB
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③④
③④
．
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