题目内容

如图，已知椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线y=k₁x与椭圆交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0），直线y=k₂x与椭圆次于G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．求证： $数学公式$ ；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

（Ⅰ）解：∵椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r），
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$
焦点坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
离心率 $\text{[math]}$
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
整理得 $\text{[math]}$
根据韦达定理，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ①
将直线GH的方程y=k₂x代入椭圆方程 $\text{[math]}$ ，同理可得 $\text{[math]}$ ②
由 ①、②得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）
由C、P、H共线，得 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
由D、Q、G共线，同理可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 变形得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|
分析：（Ⅰ）根据椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r），即可得椭圆方程，从而可得焦点坐标与离心率；
（Ⅱ）将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程，利用韦达定理，可得 $\text{[math]}$ ；将直线GH的方程y=k₂x代入椭圆方程 $\text{[math]}$ ，同理可得 $\text{[math]}$ ，由此可得结论；
（Ⅲ）设点P（p，0），点Q（q，0），由C、P、H共线，得 $\text{[math]}$ ；由D、Q、G共线，可得
$\text{[math]}$ ，由此可得结论．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查不等式的证明，认真审题，细心计算是关键．