Question

已知x=1为奇函数f（x）=ax³+bx²+（a²-6）x的极大值点，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若P（m，n）在曲线y=f（x）上，证明：过点P作该曲线的切线至多存在两条．

Answer 1

【答案】分析：（1）可得b=0，即得f（x）的解析式，求其导数令其为0，可得a值，由极值的定义验证即可；（2）由（1）知n=-m³+3m，设切点为（x，），可得切线方程为y-（）=（）（x-x），代入点P的坐标，可得m和x的方程，分解因式可得=0，分m=0和m≠0来考虑可得．
解答：解：（1）由已知f（x）为奇函数，故b=0，
所以f（x）=ax³+（a²-6）x，f′（x）=ax²+a²-6，
由极值的条件可得f′（1）=a+a²-6=0，
解得a=-3或a=2，
当a=2时，x=1为f（x）的极小值点，与已知矛盾，舍去．
故f（x）=-x³+3x；
（2）由（1）知n=-m³+3m，设切点为（x，），
则切线方程为y-（）=（）（x-x）．
P点在切线上，有-m³+3m-（）=（）（m-x），
即=，
分解因式可得=，
即（x-m）（）=0，即=0，
当m=0时，x=0，此时原曲线仅有一条切线；
当m≠0时，x=m，或x=-，此时原曲线有两条切线．
故过点P作该曲线的切线至多存在两条．
点评：本题考查导数与极值的关系，涉及曲线的切线和分类讨论的思想，属中档题．