Question

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=0，f（

π

2

）=1．给出下列结论：其中，正确的结论序号是

②③

．
①f(

π

4

)=

1

2

                     
②f（x）为奇函数
③f（x）为周期函数              
④f（x）在（0，π）内单调递减．

Answer 1

分析：通过给题中恒成立的等式赋值，对于①，给x，y都赋值

π

4

判断出错误；对于②，给x赋值0判断出正确；对于③给x赋值

π

2

判断出正确；对于④通过举反例判断出错误．

解答：解：对于①令x=y=

π

4

，得f（

π

2

）+f（0）=2f（

π

4

）cos

π

4

，所以f（

π

4

）=

2

2

，故①错误；
对于②令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy，即f（y）+f（-y）=0，故f（x）为奇函数，故②正确；
对于③，令y=

π

2

得f（x+

π

2

）+f（x-

π

2

）=0，所以f（x+

π

2

）=-f（x-

π

2

），
∴f（x+

3π

2

）=-f（x+

π

2

），
∴f（x+

3π

2

）=f（x-

π

2

），
∴f（x）的周期为T=2π，故③正确；
对于④，由②③知，例如f（x）=sinx，满足但在（0，π）不是单调递减函数，故④错误．
故答案为：②③

点评：本题主要考查抽象函数的有关问题，通过给恒等式中的未知数赋值求函数值、求函数的性质，该知识点经常是考查的重点，属于中档题．