Question

已知x=1为奇函数f（x）=

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ax³+bx²+（a²-6）x的极大值点，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若P（m，n）在曲线y=f（x）上，证明：过点P作该曲线的切线至多存在两条．

Answer 1

分析：（1）可得b=0，即得f（x）的解析式，求其导数令其为0，可得a值，由极值的定义验证即可；（2）由（1）知n=-m³+3m，设切点为（x₀，-x03+3x0），可得切线方程为y-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（x-x₀），代入点P的坐标，可得m和x₀的方程，分解因式可得(x0-m)2(x0-

-m

2

)=0，分m=0和m≠0来考虑可得．

解答：解：（1）由已知f（x）为奇函数，故b=0，
所以f（x）=

1

3

ax³+（a²-6）x，f′（x）=ax²+a²-6，
由极值的条件可得f′（1）=a+a²-6=0，
解得a=-3或a=2，
当a=2时，x=1为f（x）的极小值点，与已知矛盾，舍去．
故f（x）=-x³+3x；
（2）由（1）知n=-m³+3m，设切点为（x₀，-x03+3x0），
则切线方程为y-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（x-x₀）．
P点在切线上，有-m³+3m-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（m-x₀），
即-(m3-x03)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0)，
分解因式可得-(m-x0)(m2+mx0+x02)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0)，
即（x₀-m）（2x02-mx0-m2）=0，即(x0-m)2(x0-

-m

2

)=0，
当m=0时，x₀=0，此时原曲线仅有一条切线；
当m≠0时，x₀=m，或x₀=-

m

2

，此时原曲线有两条切线．
故过点P作该曲线的切线至多存在两条．

点评：本题考查导数与极值的关系，涉及曲线的切线和分类讨论的思想，属中档题．