题目内容

设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2．
（1）求证：log2(1+
b+c
a
)+log2(1+
a-c
b
)=1
（2）若log4(1+
b+c
a
)=1，log8(a+b-c)=
2
3
，求a、b、c的值．
分析：（1）利用对数的性质化简等式的左边，真数按照多项式的乘法展开，利用a2+b2=c2即可．
（2）log4(1+
b+c
a
)=1，log8(a+b-c)=
2
3
，分别去掉对数符号，解方程组求出a、b、c的值．
解答：证明：（1）左边=log2
a+b+c
a
+log2
a+b-c
b
=log2(
a+b+c
a
•
a+b-c
b
)
=log2
(a+b)2-c2
ab
=log2
a2+2ab+b2-c2
ab
=log2
2ab+c2-c2
ab
=log22=1；
解：（2）由log4(1+
b+c
a
)=1得1+
b+c
a
=4，∴-3a+b+c=0①
由log8(a+b-c)=
2
3
得a+b-c=8
2
3
=4②
由①+②得b-a=2③
由①得c=3a-b，代入a2+b2=c2得2a（4a-3b）=0，∵a＞0，
∴4a-3b=0④
由③、④解得a=6，b=8，从而c=10．
点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc．
设a，b，c为正数，且a+b+4c=1，则
a
+
b
+
2c
的最大值是
10
2
10
2
．
设a，b，c为正数，且a+b+c=1，求证：（a+
1
a
）2+（b+
1
b
）2+（c+
1
c
）2≥
100
3
．
[选做题]
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+
3
sinθ)=2的距离为d，求d的最大值．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c为正数且a+b+c=1，求证：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2≥
100
3
．
（理）（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x2+y2与x2+xy的大小；
（2）设a，b，c为正数，且a2+b2+c2=1，求证：
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
-
2(a3+b3+c3)
abc
≥3．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网