题目内容

设a，b，c为正数，且a+b+4c=1，则
a
+
b
+
2c
的最大值是
10
2
10
2
．
分析：利用柯西不等式，结合a+b+4c=1，即可求得
a
+
b
+
2c
的最大值．
解答：解：由柯西不等式可得(
a
+
b
+
2c
)2≤[12+12+（
2
2
）2][(
a
)2+(
b
)2+(
4c
)2]=
5
2
×1
∴
a
+
b
+
2c
≤
5
2
×1
=
10
2

∴
a
+
b
+
2c
的最大值是
10
2

故答案为：
10
2
．
点评：本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc．
设a，b，c为正数，且a+b+c=1，求证：（a+
1
a
）2+（b+
1
b
）2+（c+
1
c
）2≥
100
3
．
[选做题]
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+
3
sinθ)=2的距离为d，求d的最大值．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c为正数且a+b+c=1，求证：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2≥
100
3
．
（理）（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x2+y2与x2+xy的大小；
（2）设a，b，c为正数，且a2+b2+c2=1，求证：
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
-
2(a3+b3+c3)
abc
≥3．

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