Question

（理）（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x²+y²与x²+xy的大小；
（2）设a，b，c为正数，且a²+b²+c²=1，求证：

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

-

2(a3+b3+c3)

abc

≥3．

Answer 1

分析：（1）解法1：利用作差法；解法2：利用分类讨论思想，分xy＜0与xy＞0讨论即可证得结论；
（2）利用作差法，通过通分、分组、配方等一系列转化，即可证得结论．

解答：证明：（1）证法1：∵x、y是不全为零的实数，
∴2x²+y²-（x²+xy）
=x²+y²-xy
=(x-

1

2

y)2+

3

4

y²＞0，
∴2x²+y²＞x²+xy．
证法2：当xy＜0时，x²+xy＜2x²+y²；
当xy＞0时，作差：x²+y²-xy≥2xy-xy=xy＞0；
又因为x、y是不全为零的实数，
∴当xy=0时，2x²+y²＞x²+xy．
综上，2x²+y²＞x²+xy．
（2）证明：∵

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

-

2(a3+b3+c3)

abc

-3
=

a2+b2+c2

a2

+

a2+b2+c2

b2

+

a2+b2+c2

c2

-

2(a3+b3+c3)

abc

-3
=a²（

1

b2

+

1

c2

）+b²（

1

a2

+

1

c2

）+c²（

1

a2

+

1

b2

）-2（

a2

bc

+

b2

ac

+

c2

ab

）
=a²(

1

b

-

1

c

)2+b²(

1

c

-

1

a

)2+c²(

1

a

-

1

b

)2≥0（当且仅当a=b=c时，取得等号），
∴

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

-

2(a3+b3+c3)

abc

≥3．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法，考查通分、配方、分类讨论等方法，运用转化思想，推理证明，属于难题．