Question

【题目】已知椭圆，过原点O且斜率不为0的直线与椭圆C交于P，Q两点．

（1）若为椭圆C的一个焦点，求椭圆C的标准方程；

（2）若经过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线OP的方程，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）变形，根据的关系求解即可；

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，求得点坐标，代入椭圆方程，即可求得的值.

解：（1）由已知得，则，解得，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）设，
当直线的斜率为0时，三点共线，不符合题意，
所以可设直线的方程为，
联立，可得，
显然，，则，
若四边形为平行四边形，则，
所以，，，
因为在椭圆上，所以，即，

解得，
所以四边形能为平行四边行，此时直线的方程为或，
综上所述，四边形能为平行四边形，此时直线的方程为或.