Question

如图，已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F₁Q|=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点M在线段F₂Q上，且满足•=0，||≠0．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．分类讨论，当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上，当||≠0且||≠0时，由•=0，得⊥，从而可值M为线段F₂Q的中点，进而可求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消去y并整理，利用韦达定理及直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，可求直线方程，从而可求△OAB面积，进而可得△OAB面积的取值范围；
（Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为（0，ab）．”
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．
当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上．
当||≠0且||≠0时，由•=0，得⊥．
又||=||（如图），所以M为线段F₂Q的中点．
在△QF₁F₂中，||=|F₁Q|=a，所以有x²+y²=a²．
综上所述，点M的轨迹C的方程是x²+y²=a²．…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消去y并整理，得
（1+k²）x²+2kmx+m²-a²=0，
则△=4k²m²-4（1+k²）（m²-a²）=4（k²a²+a²-m²）＞0，
且x₁+x₂=，x₁x₂=．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，
∴•==k²，
即+m²=0，又m≠0，
∴k²=1，即k=±1．
设点O到直线l的距离为d，则d=，
∴S_△OAB=|AB|d=|x₁-x₂|•
=|x₁-x₂||m|=．
由直线OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2a²且m²≠a²，
∴0＜＜=a²．
故△OAB面积的取值范围为（0，a²）．…（10分）
（Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为（0，ab）．”…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查求三角形的面积，考查类比思想，解题的关键是挖掘隐含条件，正确表示三角形的面积，属于中档题．