Question

15．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1（m＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF₁|•|PF₂|=2$\sqrt{3}$m，则该椭圆离心率的取值范围为$[\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2m，利用基本不等式的性质可得：|PF₁|+|PF₂|≥$2\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，化简整理即可得出．另一方面：设∠F₁PF₂=θ，由余弦定理可得：$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$-2|PF₁||PF₂|cosθ=（2c）²=16．
$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$+2|PF₁||PF₂|=4m²．相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出．

解答 解：由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2m，
∴2m=|PF₁|+|PF₂|≥$2\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=2$\sqrt{2\sqrt{3}m}$，
化为${m}^{2}≥2\sqrt{3}m$，又m＞2，
解得$m≥2\sqrt{3}$．
另一方面：设∠F₁PF₂=θ，
由余弦定理可得：$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$-2|PF₁||PF₂|cosθ=（2c）²=16．
$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$+2|PF₁||PF₂|=4m²．
相减可得：1+cosθ=$\frac{{m}^{2}-4}{\sqrt{3}m}$．
∵θ∈[0，π），
∴0＜$\frac{{m}^{2}-4}{\sqrt{3}m}$≤2．m≥2$\sqrt{3}$
∴2≤m≤$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}-4}{{m}^{2}}}$=$\frac{2}{m}$∈$[\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$，
∴该椭圆离心率的取值范围为$[\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$，
故答案为：$[\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．