Question

已知A，B是抛物线W：y=x²上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k，O为坐标原点．
（Ⅰ）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；
（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出抛物线y=x²的焦点，得直线AB的方程为y-1=k（x-1），求出直线AB与y轴相交于点（0，1-k），利用抛物线W的焦点在直线AB的下方，即可求k的取值范围；
（Ⅱ）求出B、C处的切线方程，联立求出D的坐标，结合A（1，1）且AB⊥AC，求出|OD|，即可求出|OD|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）抛物线y=x²的焦点为（0，

1

4

）．…（1分）
由题意，得直线AB的方程为y-1=k（x-1），…（2分）
令x=0，得y=1-k，即直线AB与y轴相交于点（0，1-k）．…（3分）
∵抛物线W的焦点在直线AB的下方，
∴1-k＞

1

4

，
解得k＜

3

4

．…（5分）
（Ⅱ）设B（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²），则
∵A（1，1）且AB⊥AC，
∴

x22-1

x2-1

•

x12-1

x1-1

=-1
即（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2------（6分）
又∵y′=2x，∴B、C处的切线的斜率为k₁=2x₁，k₂=2x₂，
∴B、C处的切线方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）和y-x₂²=2x₂（x-x₂），
联立解得D（

x1+x2

2

，x₁•x₂）------（8分）
设x₁x₂=t，由（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2得

x1+x2

2

=-1-

t

2

，
∴|OD|²=（-1-

t

2

）²+t²=

5

4

t²+t+1-----（10分）
当t=-

2

5

时，|OD|²_min=

4

5

，
∴|OD|_min=

2 5

5

-----（12分）

点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查抛物线的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．