Question

已知双曲线

y2

a2

-

x2

9

=1的两条渐近线与以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的左焦点为圆心、半径为

16

5

的圆相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  5

  4

• B．

  5

  3

• C．

  4

  3

• D．

  6

  5

Answer 1

分析：由题意分别求出双曲线的渐近线方程和椭圆的左焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出双曲线的实半轴长，进一步求出其半焦距，则答案可求．

解答：解：由双曲线

y2

a2

-

x2

9

=1，得其渐近线方程为y=±

3

a

x．即3x±ay=0．
由椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，得c²=a²-b²=16，所以c=4．
则椭圆的左焦点为F₁（-4，0）．
又双曲线

y2

a2

-

x2

9

=1的两条渐近线与以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的左焦点为圆心、半径为

16

5

的圆相切．
所以

|-12|

9+a2

=

16

5

，解得a=

9

4

．
所以双曲线的半焦距为

81 16 +9

=

15

4

．
所以双曲线的离心率e=

15 4

9 4

=

5

3

．
故选B．

点评：本题考查了双曲线和椭圆的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了学生的计算能力，是中档题．