Question

求函数f（x）=(

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)2x-x2的定义域、值域和单调区间．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=(

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)2x-x2的定义域为R；令t=2x-x²，则y=f（x）=(

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)t，结合指数函数的图象和性质及二次函数的图象和性质，可得函数f（x）=(

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)2x-x2的值域和单调区间．

解答： 解：函数f（x）=(

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)2x-x2的定义域为R；
令t=2x-x²，则y=f（x）=(

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)t，
∵t=2x-x²∈（-∞，1]，
∴y=f（x）=(

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)t∈[

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，+∞），
即函数f（x）=(

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)2x-x2的值域为[

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，+∞），
∵t=2x-x²在（-∞，1]上为增函数，在[1，+∞）上为减函数，
y=(

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)t为减函数，
∴函数f（x）=(

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)2x-x2的单调递增区间为[1，+∞）；单调递减区间为（-∞，1]

点评：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，复合函数的值域及单调性，难度中档．