题目内容
函数y=5
+
的最大值是
| x-1 |
| 10-2x |
6
| 3 |
6
．| 3 |
分析：法一：利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
法二：利用向量数量积的性质
•
≤|
| |
|．即可得出．
法二：利用向量数量积的性质
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：法一：由
解得1≤x≤5，∴函数y=5
+
的，定义域为[1，5]．
y′=
-
=
，
令y′=0，解得x=
．
当x∈[1，
]时，y′＞0，此时函数单调递增；当x∈[
，5]时，y′＜0，此时函数单调递减．
因此函数在x=
时取得最大值，y=5
+
=6
．
法二：令
=(5，
)，
=(
，
)，定义域为[1，5]．
∵
•
≤|
| |
|．
∴函数y=5
+
=5•
+
•
≤
•
=6
．
当且仅当
与
同向共线取等号，此时满足5
=
，解得x=
时取等号．
|
| x-1 |
| 10-2x |
y′=
| 5 | ||
2
|
| 1 | ||
|
5
| ||||
2
|
令y′=0，解得x=
| 127 |
| 27 |
当x∈[1，
| 127 |
| 27 |
| 127 |
| 27 |
因此函数在x=
| 127 |
| 27 |
|
10-2×
|
| 3 |
法二：令
| a |
| 2 |
| b |
| x-1 |
| 5-x |
∵
| a |
| b |
| a |
| b |
∴函数y=5
| x-1 |
| 10-2x |
| x-1 |
| 2 |
| 5-x |
52+(
|
(
|
| 3 |
当且仅当
| a |
| b |
| 5-x |
| 2 |
| x-1 |
| 127 |
| 27 |
点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、利用向量数量积的性质求最值等基础知识与基本方法，属于中档题．
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