题目内容

已知非零向量
a
，
b
满足|
a
-
b
|=|
a
+
b
|=λ|
b
|（λ≥2），则向量
a
-
b
与
a
+
b
的夹角的最大值为
π
3
π
3
．
分析：设
OA
=
a
，
OB
=
b
，OACB为平行四边形，由条件可得平行四边形OACB为矩形，设|
b
|=1，则 OA=
λ2-1
．由余弦定理求得cos∠CDA=
2λ2-4
2λ2
=1-
2
λ2
≥
1
2
，由此可得∠CDA 的最大值，此最大值即为所求．
解答：解：∵|
a
-
b
|=|
a
+
b
|=λ|
b
|，λ≥2，如图所示：设
OA
=
a
，
OB
=
b
，OACB为平行四边形，
则 
OC
=
a
+
b
，
BA
=
a
-
b
．
设|
b
|=1，则|
a
-
b
|=|
a
+
b
|=λ，即OC=AB=λ，故平行四边形OACB为矩形，
a
⊥
b
．
由勾股定理可得OB2+OA2=AB2，即 1+OA2=λ2，∴OA=
λ2-1
．
由题意可得，
a
+
b
与
a
-
b
的夹角即∠CDA，由余弦定理CA2=CD2+DA2-2CD•DA•cos∠CDA，
即 1=(
λ
2
)2+(
λ
2
)2-2×
λ
2
×
λ
2
×cos∠CDA∴cos∠CDA=
2λ2-4
2λ2
=1-
2
λ2
．
由于λ≥2，∴1-
2
λ2
≥1-
2
4
=
1
2
，当且仅当λ=2时，取等号，故cos∠CDA 的最小值为
1
2
，
故∠CDA 的最大值为
π
3
，
故答案为
π
3
．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知非零向量
a
，
b
满足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求证：
a
⊥
b
．
已知非零向量
a
、
b
满足|
a
+
b
|=|
b
|，
①若
a
、
b
共线，则
a
=-2
b
；
②若
a
、
b
不共线，则以|
a
|、|
a
+2
b
|、2|
b
|为边长的三角形为直角三角形；
③2|
b
|＞|
a
+2
b
|； ④2|
b
|＜|
a
+2
b
|．
其中正确的命题序号是
 
．
（2013•鹰潭一模）已知非零向量
a
，
b
满足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|=
2
3
3
|
a
|，则
a
+
b
与
a
-
b
的夹角为
π
3
π
3
．
（2013•杭州模拟）已知非零向量
a
，
b
满足|
a
|=1，|
a
-
b
|=
3
，
a
与
b
的夹角为120°，则|
b
|=
1
1
．
（2013•珠海二模）已知非零向量
a
，
b
满足
a
⊥
b
，则函数f(x)=(
a
x+
b
)2(x∈R)是（　　）

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