Question

点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.

Answer 1

解:取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示，

设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P={M||MR|＝|MQ|}，其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足.

因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件|MR|＝|MQ|可写成|x|＝|y|，即x±y=0.                                                                                       ①

下面证明①是所求轨迹的方程.

(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；

(2)设点M₁的坐标(x₁，y₁)是方程①的解，那么x₁±y₁＝0，即|x₁|＝|y₁|，而|x₁|、|y₁|正是点M₁到纵轴、横轴的距离，因此点M₁到这两条直线的距离相等，点M₁是曲线上的点.

由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如上图所示.

点评:建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较“简单”，所求方程的形式较“整齐”.