Question

点M到两条互相垂直的直线的距离相等,求点M的轨迹方程.

Answer 1

答案：
解析：

解:取已知两条互相垂直的直线为坐标轴,建立直角坐标系,如图所示. 设点M的坐标为(x,y),点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P=｛M｜｜MR｜＝｜MQ｜｝,其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足. 因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值,所以条件｜MR｜＝｜MQ｜可写成｜x｜＝｜y｜,即x±y=0. ① 下面证明①是所求轨迹的方程. (1)由求方程的过程,可知曲线上的点的坐标都是方程①的解; (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解,那么x1±y1＝0, 即｜x1｜＝｜y1｜,而｜x1｜、｜y1｜正是点M1到纵轴、横轴的距离,因此点M1到这两条直线的距离相等,点M1是曲线上的点. 由(1)(2),可知方程①是所求轨迹的方程,图形如上图所示.