Question

已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明；
（3）若．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别对x，y赋值0可求；
（2）利用f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，先分别求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）=n²，进而进行证明；
（3）先求，再令，从而构建等比数列，最后求和可证．
解答：解：（1）令x=y=0，则f（0）=0；
（2）f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，猜想f（n）=n²，
①当n=1时，显然成立； 
②设n=k时成立，即f（k）=k²，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=（k+1）²即=k+1时，成立
综上知f（n）=n²，成立
（3）设
令
变形为：，因此数列是等比数列，
首项为，∴
∴
点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明方法，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．