题目内容

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．
分析：（1）根据定义可得|x2-1|＞1再按照绝对值不等式的解法求解．
（2）证明：易知∵
b2
a
+
a2
b
＞ a+b＞2
ab
成立，再两边同乘以ab得到要证明的问题．
（3）根据定义可得f(x)=
sinx，x∈(kπ+
π
4
，kπ+
3π
4
)
cosx，x∈(kπ-
π
4
，kπ+
π
4
)
，再由正弦函数和余弦函数的性质进行探讨．
解答：解：（1）根据定义可得：|x2-1|＞1
∴x2-1＞1或x2-1＜-1
解得x∈(-∞，-
2
)∪(
2
．+∞)
（2）证明：欲证明a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab

即证|a3+b3-2ab
ab
|＞|a2b+ab2-2ab
ab
|，又任意两个不相等的正数a、b
即证|
b2
a
+
a2
b
-2
ab?
|＞|a+b-2
ab?
|
由于a+b≥2
ab?
，
b2
a
+
a2
b
-(a+b)=
(a+b)(a2+b2-2ab)
ab
＞0
∴
b2
a
+
a2
b
＞a+b＞2
ab

即证|
b2
a
+
a2
b
-2
ab?
|＞|a+b-2
ab?
|成立
∴|a3+b3-2ab
ab
|＞|a2b+ab2-2ab
ab
|
（3）由题意知f(x)=
sinx，x∈(kπ+
π
4
，kπ+
3π
4
)
cosx，x∈(kπ-
π
4
，kπ+
π
4
)

性质：①函数是偶函数；
②周期T=
π
2

③在区间[
kπ
2
+
π
4
，
kπ
2
+
π
2
]k∈z是增函数，在[
kπ
2
-
π
4
，
kπ
2
+
π
4
]k∈z是减函数
④最大值为1，最小值为
2
2

⑤定义域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}
点评：本题通过新定义来考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，构造新函数并研究其性质，设置新颖，考查丰富，是一道好题．
练习册系列答案
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若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．
若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y靠近m．
（Ⅰ）若x+1比-x靠近-1，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）①对任意x＞0，证明：ln（1+x）比x靠近0；②已知数列{an}的通项公式为an=1+21-n，证明：a1a2a3…an＜2e．
（2012•烟台一模）若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．若x2-1比1远离0，则x的取值范围是
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
．
若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y更接近m．
（1）若x2比4更接近1，求x的取值范围；
（2）a＞0时，若x2+a比（a+1）x更接近0，求x的取值范围．
若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
．

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