Question

已知函数
（1）试求的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+++…++f（1）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是数列{b_n}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

Answer 1

（本小题满分16分）
解：（1）∵f（x）+f（1-x）=+=+=1
∴f（）+f（）=1．（5分）
（2）∵a_n=f（0）+++…++f（1）（n∈N^*），①
∴+…+f（）+f（0）（n∈N^*），②
由（1），知 f（）+f（）=1，
∴①+②，得2a_n=n+1，
∴．（10分）
（3）∵，∴，
∴（n+1）•2ⁿ，①
∴2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-，
即S_n=n•2ⁿ⁺¹，（12分）
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立，
n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4．
设g（n）=kn²-2n-2，
当k＞4时，由于对称轴直线n=，且 g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞） 是增函数，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立，
即当k＞4时，不等式knS_n＞b_n对于一切的n∈N^*恒成立 …（16分）
分析：（1）由f（x）+f（1-x）=+=+=1，能得到f（）+f（）=1．由此规律求值即可
（2）由a_n=f（0）+++…++f（1）（n∈N^*），知+…+f（）+f（0）（n∈N^*），由倒序相加法能得到．
（3）由，知，由（n+1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出S_n=n•2ⁿ⁺¹，要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立，由此能够证明当k＞4时，不等式knS_n＞b_n对于一切的n∈N^*恒成立．
点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．解题时要注意倒序相加法、错位相减法的灵活运用．