Question

已知在数列{a_n}中，a1=3，an+1=

3an

3+an

，n∈N+．
（1）试求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）归纳猜想数列的通项公式．

Answer 1

分析：（1）把n=1及a₁=3代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值，把n=4及a₄的值代入已知的等式即可求出a₅的值；
（2）然后把求出的五项的值观察规律，即可归纳总结得到这个数列的通项公式a_n．

解答：解：（1）an+1=

3an

3+an

，两边取倒数，
可变形为：

1

an+1

-

1

an

=

1

3

，
把n=1及a₁=3代入，即可求出a₂=

3

2

，
把n=2及a₂的值代入，即可求出a₃=1，
依次得到：a₄=

3

4

，a₅=

3

5

．
（2）从上面的式子中归纳猜想数列的通项公式为：an=

3

n

，n∈N^*．

点评：此题考查数列的概念及简单表示法、归纳推理，会根据一组数据的特点归纳总结得出一般性的规律，是一道基础题．