Question

（2011•河北区一模）已知在数列{a_n}中，S_n是前n项和，满足S_n+a_n=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3，…），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+a_n=n，即可求得a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）由S_n+a_n=n，S_n+1+a_n+1=n+1，二者作差（后者减去前者）可得2a_n+1-a_n=1，整理可得a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），从而可知数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，于是可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）与已知可求得b_n=

n-2

2n

，利用错位相减法即可求得其n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n+a_n=n，
∴a₁=

1

2

，a₂=

3

4

，a₃=

7

8

．…（3分）
（Ⅱ）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=n-a_n，…①
a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，…②
②-①得2a_n+1-a_n=1，
即a_n+1-1=

1

2

（a_n-1）．…（5分）
又a₁-1=-

1

2

，
∴数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．…（7分）
∴a_n-1=（-

1

2

）(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
可得a_n=1-(

1

2

)n．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a_n=1-(

1

2

)n，
∵b_n=（2-n）（a_n-1）=（2-n）[-(

1

2

)n]=

n-2

2n

，…（10分）
所以数列{b_n}的前n项和T_n=

-1

2

+

0

22

+

1

23

+…+

n-2

2n

．…①
所以

1

2

T_n=

-1

22

+

0

23

+

1

24

+…+

n-2

2n+1

．…②…（12分）
①-②得

1

2

T_n=

-1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n-2

2n+1

=-

n

2n+1

．
所以T_n=-

n

2n

．…（14分）

点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的判断及其通项公式的应用，突出错位相减法在求和中的应用，属于难题．