Question

已知在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足Sn2=an(Sn-

1

2

)．
（Ⅰ） 求S_n的表达式；
（Ⅱ） 设bn=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n≥2时，把a_n=S_n-S_n-1代入Sn2=an(Sn-

1

2

)即可得到2S_nS_n-1+S_n-S_n-1=0，然后化简得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，于是可以得到S_n的表达式，
（Ⅱ）把Sn=

1

2n-1

代入bn=

Sn

2n+1

中可得b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，然后进行裂项相消进行求和．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1代入得：2SnSn-1+Sn-Sn-1=0?

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴

1

Sn

=2n-1?Sn=

1

2n-1

（6分）
（Ⅱ）bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

．（13分）

点评：本题主要考查数列的求和和求数列递推式的知识点，利用裂项相消法求数列的和是解答本题第二问的关键，本题难度一般．