题目内容
已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．
（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tanβ=
tanα；
（2）若点C到平面AB1D1的距离为
，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．
（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tanβ=
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（2）若点C到平面AB1D1的距离为
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（1）由题意画出图形为：
∵ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，
∴底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，∴∠AB1A1=α ，tanα=
，
又因为二面角A-B1D1-A1的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，∴∠AO1A1=β，∴
tanβ=
而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，∴A1B1=
A1O1，∴tanβ=
tanα．
（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1
且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用Rt△AA1O1∽Rt△CHA 得到
=
，而AH=
=
，∴
=
?
=
?AA1=2，
故正四棱锥的高为AA1=2．
∵ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，
∴底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，∴∠AB1A1=α ，tanα=
| AA1 |
| A1B1 |
又因为二面角A-B1D1-A1的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，∴∠AO1A1=β，∴
| 2 |
| AA1 |
| A1O1 |
而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，∴A1B1=
| 2 |
| 2 |
（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1
且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用Rt△AA1O1∽Rt△CHA 得到
| A1O1 |
| AA1 |
| AH |
| CH |
| AC2-CH2 |
2-(
|
| A1O1 |
| AA1 |
| AH |
| CH |
| ||||
| AA1 |
| ||||
|
故正四棱锥的高为AA1=2．
练习册系列答案
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，
如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，E为C1C上的点，且CE=1，
如图：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．