Question

已知实数x，y满足x≥1，y≥1，log_a²x+log_a²y=log_a（ax²）+log_a（ay²），（a＞1）则log_a（xy）的取值范围为________．

Answer 1

[0，2+2]
分析：根据所给的关于对数的等式，利用对数函数的性质进行整理，得到log_a²x+log_a²y=2log_ax+2log_ay+2．利用基本不等式进行变换，得到关于要求的代数式的不等式，换元得到关于变量的一元二次不等式，解出结果．
解答：∵log_a²x+log_a²y=log_a（ax²）+log_a（ay²），
∴log_a²x+log_a²y=log_ax²+log_ay²+2
∴log_a²x+log_a²y=2log_ax+2log_ay+2
∴≤log_a²x+log_a²y=2（log_ax+log_ay）+2
令log_ax+log_ay=t
∴解得2-2≤t≤2+2
∵x≥1，y≥1，a＞1，可得log_ax≥0，log_ay≥0，即log_ax+log_ay=t≥0
∴0，
∴0≤log_a（xy）≤2+
故答案为：[0，2+]
点评：本题考查对数函数的性质和基本不等式的应用，本题解题的关键是整理出关于要求的代数式的不等式，解不等式即可．