Question

【题目】函数，且恒成立.

（1）求实数的集合；

（2）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.

（参考数据：）

Answer 1

【答案】（1）；（2）2个，证明见解析

【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看是否有最小值；

（2）将图像与图像的交点个数转化为方程实数解的个数问题，然后构造函数，再利用导数讨论此函数零点的个数.

（1）的定义域为，因为，

1°当时，在上单调递减，时，使得，与条件矛盾；

2°当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，

若；

若；而时，，要使恒成立，

故.

（2）原问题转化为方程实根个数问题，

当时，图象与图象有且仅有2个交点，理由如下：

由，即，令，

因为，所以是的一根；，

1°当时，，

所以在上单调递减，，即在上无实根；

2°当时，，

则在上单调递递增，又，

所以在上有唯一实根，且满足，

①当时，在上单调递减，此时在上无实根；

②当时，在上单调递增，

，故在上有唯一实根.

3°当时，由（1）知，在上单调递增，

所以，

故，所以在上无实根.

综合1°，2°，3°，故有两个实根，即图象与图象有且仅有2个交点.