Question

如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．
（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；
（Ⅱ）若AC=2，AF=2

2

，求△BDF外接圆的半径．

Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定,与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．
（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF²=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=

2

，由此能求出△BDF的外接圆半径．

解答： （Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…（2分）
又DH⊥BD，
故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，
所以B、D、F、H四点共圆．…（4分）
（2）解：因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得AF²=AC•AD，即（2

2

）²=2•AD，
解得AD=4，…（6分）
所以BD=

1

2

(AD-AC)=1，BF=BD=1，
又△AFB∽△ADH，
则

DH

BF

=

AD

AF

，得DH=

2

，…（8分）
连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，
BH=

BD2+DH2

=

3

，
故△BDF的外接圆半径为

3

2

．…（10分）

点评：本题考查四点共圆的证明，考查三角形处接圆半径的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．