Question

判断正误:

已知二面角M-l-N的大小为α(α是锐角), △ABC在面M内, 其面积为S,

 △A＇B＇C＇是△ABC在面N内的射影, 则△A＇B＇C＇的面积为S·cosα.

(　　)

Answer 1

答案：T
解析：

证明 (1)先考虑△ABC有一边平行于l 的情形, 例如设BC∥l (图甲). 设AD是BC边上的高, 则AD⊥l. 记BC＝a, AD＝h,可知它们在面N内的射影满足B＇C＇＝a, A＇D＇＝hcosα,并且B＇C＇∥L, A＇D＇⊥l .因而△A＇B＇C＇的面积为S＇＝B＇C＇·A＇D＇＝ahcosα＝Scosα  (2)若△ABC各边都不平行于l , 如图乙, 则可过一顶点作平行于l 的直线, 将△ABC分成两个较小的三角形, 如图乙中的△ABE、△CBE, 设其面积为S1和S2, 相应地,△A＇B＇C＇也分成△A＇B＇E＇和△C＇B＇E＇, 设其面积S1'和S2'. 利用情形(1)的结论, 有S1'＝S1cosα, S2'＝S2cosα 以上两式相加, 得到S＇＝Scosα. 综合(1)、(2), 可知在一切情形下都有S＇＝Scosα.

提示：

分两种情形: ①△ABC中有一边平行于l. ②△ABC中各边都不平行于l.