Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求多面体ADC-A₁B₁C₁的体积；
（3）求二面角D-CB₁-B的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）证明线线垂直一般先证明线面垂直，即证明已知直线与平面内的两条相交直线垂直即可．
（2）结合几何体的特征得到VADC-A1B1C1=VABC-A1B1C1-VB1-BCD，进而得到答案．
（3）根据题意建立直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角进而转化为两个平面的二面角．

解答：解：（1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC，
又AC⊥C₁C，C₁C∩BC=C
∴AC⊥平面BCC₁；
∴AC⊥BC₁
（2）VADC-A1B1C1=VABC-A1B1C1-VB1-BCD=

1

2

×3×4×4-

1

3

×4×

1

2

×

1

2

×3×4=20
（3）由题意可得：以CA、CB、CC₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
∵AC=3，BC=4，AA₁=4，
∴C（0，0，0），D(

3

2

，2，0)，B₁（0，4，4），
∴

CD

=(

3

2

，2，0)，

CB1

=(0，4，4)
平面CBB₁C₁的法向量

n1

=(1，0，0)，
设平面DB₁C的法向量

n2

=(x0，y0，-1)，
则

n1

，

n2

的夹角的补角的大小就是二面角D-CB₁-B的大小
则由

n2 • CD =0 n2 • CB1 =0

解得

n2

=(-

4

3

，1，-1)
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=-

4

34

，
则tan＜

n1

，

n2

＞=-

3 2

4

∴二面角D-B₁C-B的正切值为

3 2

4

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，即可得到几何体的线面关系进而比较简单的解决空间中的体积、空间角与空间距离等问题．