Question

2．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F．
（Ⅰ）点A，P满足$\overrightarrow{AP}$=-2$\overrightarrow{FA}$．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（-2，1），求直线l与抛物线C恰好有一个公共点、两个公共点、没有公共点时k的相应取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的焦点F，设P（x，y），A（x₀，y₀），求得向量AP，FA的坐标，由条件运用代入法，可得动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）由题意可得直线l的方程为y-1=k（x+2），讨论当k=0时，当k≠0时，联立抛物线方程，消去x并整理，由判别式等于0，大于0，小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
设P（x，y），A（x₀，y₀），则有$y_0^2=4{x_0}$①
$\overrightarrow{AP}=（x-{x_0}，y-{y_0}）$，$\overrightarrow{FA}=（{x_0}-1，{y_0}）$．
由$\overrightarrow{AP}=-2\overrightarrow{FA}$，得
$\left\{\begin{array}{l}x-{x_0}=-2（{x_0}-1）\\ y-{y_0}=-2{y_0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2-x\\{y_0}=-y\end{array}\right.$②
把②代入①得动点P的轨迹方程：y²=-4（x-2）；
（Ⅱ）由题意可得直线l的方程为y-1=k（x+2），
当k=0时，直线l的方程为y=1，直线l与抛物线C有一个交点；
当k≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}y-1=k（x+2）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去x并整理，得ky²-4y+8k+4=0．
判别式△=（-4）²-4k（8k+4）=-16（k+1）（2k-1），
由△=0，得k=-1或$k=\frac{1}{2}$；由△＞0，得$-1＜k＜\frac{1}{2}$．
所以，恰好有一个公共点时，k的相应取值范围是$\{-1，0，\frac{1}{2}\}$；
恰好有两个公共点时，k的相应取值范围是$\{x|-1＜x＜\frac{1}{2}，x≠0\}$；
没有公共点时，k的相应取值范围是{x|x＜-1，或$x＞\frac{1}{2}\}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，同时考查向量的共线的坐标表示和直线和抛物线的位置关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．