题目内容

（2012•湖南模拟）当0＜x≤
1
2
时，4x＜logax，则a的取值范围
(
2
2
，1)
(
2
2
，1)
．
分析：若当0＜x≤
1
2
时，不等式4x＜logax恒成立，则在0＜x≤
1
2
时，y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案．
解答：解：当0＜x≤
1
2
时，函数y=4x的图象如下图所示
若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（
1
2
，2）点时，a=
2
2

故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足
2
2
＜a＜1
故答案为：（
2
2
，1）
点评：本题以指数函数与对数函数图象与性质为载体考查了函数恒成立问题，其中熟练掌握指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键．
练习册系列答案
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（2012•湖南模拟）已知函数f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)
（1）判断f（x）的单调性；
（2）记φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函数φ（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：φ′(
x1+x2
2
)＞0．
（2012•湖南模拟）已知向量
m
=(2cos2x，
3
)，
n
=(1，sin2x)，函数f(x)=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)=3，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．
（2012•湖南模拟）设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b-a的最大值为（　　）
（2012•湖南模拟）已知函数f(x)=
-x-1(x＜-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x＞
1
2
)
（x∈R），
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m2+2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：函数y=（m2-1）x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
（2012•湖南模拟）设曲线y=xn+1（n∈N）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1•x2•x3•…•x2012的值为
1
2013
1
2013
．

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